Espace de Sobolev
Espace des fonctions \(L^2\) dont toutes les dérivées faibles sont \(L^2\). $$H^1(\Omega):=\left\{ v\in L^2(\Omega)\middle|\forall i\in[\![1,N]\!],\frac{\partial v}{\partial x_i}\in L^2(\Omega)\right\}$$
- appelé en physique espace d'énergie car il est constitué des fonctions d'énergie finie
- ⚠ si on est en dimension \(\geqslant2\), alors \(H^1\) contient des fonctions qui ne sont pas continues
- c'est un espace de Hilbert pour le produit scalaire : $$\langle{u,v}\rangle _{H^1(\Omega)}:=\int_\Omega u(x)v(x)+\nabla u(x)\cdot\nabla v(x)\,dx$$
- la norme correspondante est : $$\lVert u\rVert_{H^1(\Omega)}:=\sqrt{\int_\Omega\lvert u(x)\rvert^2+\lvert\nabla u(x)\rvert^2\,dx}$$
- théorème fondamental d'analyse dans \(H^1(\Omega)\) : $$v(y)=v(x)+\int^y_{x}v'(s)\,ds$$
- hypothèses :
- \(x,y\in[0,1]\)
- on a alors le fait que \(v\mapsto v(x)\) est une forme linéaire continue
- \(\mathcal C_c^\infty(\overline\Omega)\) est dense dans \(H^1(\Omega)\)
- ⚠ les fonctions de \(\mathcal C_c^\infty(\overline\Omega)\) ne s'annulent pas forcément sur le bord de \(\Omega\)
- par contre, si \(\Omega\) n'est pas borné, les fonctions de \(\mathcal C_c^\infty(\overline\Omega)\) s'annulent "à l'infini"
Espace des fonctions mesurables de carré sommable,
Espace des fonctions test
